Latihan Soal UTBK - Aljabar & Fungsi (Linear, Kuadrat, SPL)
Berikut adalah 20 Soal Latihan Intensif yang telah disusun mulai dari pemahaman dasar hingga soal analisis tipe HOTS. Jangan lupa pelajari ringkasan materi di bawah ini dulu ya!
Ringkasan Materi Kilat
- Bentuk Umum: y = mx + c atau ax + by = c
- Gradien (m):
- Melalui 2 titik: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
- Hubungan Dua Garis:
- Sejajar: m₁ = m₂
- Tegak Lurus: m₁ ⋅ m₂ = -1
- Rumus Persamaan Garis:
y - y₁ = m(x - x₁)
- Bentuk Umum: y = ax² + bx + c
- Sumbu Simetri (xâ‚š): -b / 2a
- Nilai Optimum/Puncak (yâ‚š): -D / 4a
- Operasi Akar-akar:
- Jumlah: x₁ + x₂ = -b/a
- Kali: x₁ ⋅ x₂ = c/a
- Selisih: |x₁ - x₂| = √D / |a|
- Diskriminan (D = b² - 4ac):
- D > 0: Memotong sumbu X di 2 titik.
- D = 0: Menyinggung sumbu X.
- D < 0: Tidak memotong sumbu X (Definit).
Level 1: Pemahaman Dasar (LOTS)
Soal Nomor 1 Level 1
Tentukan gradien garis yang melalui titik A(2, -3) dan B(5, 6).
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Diketahui dua titik (x₁, y₁) = (2, -3) dan (x₂, y₂) = (5, 6).
Gunakan rumus gradien:
m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
m = (6 - (-3)) / (5 - 2)
m = (6 + 3) / 3
m = 9 / 3 = 3.
Soal Nomor 2 Level 1
Diketahui fungsi f(x) = 3x - 5. Jika f(a) = 7, berapakah nilai a?
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Substitusikan x dengan a ke dalam fungsi:
f(a) = 3a - 5
Diketahui f(a) = 7, maka:
3a - 5 = 7
3a = 7 + 5
3a = 12
a = 12 / 3 = 4.
Soal Nomor 3 Level 1
Carilah himpunan penyelesaian (x, y) dari sistem persamaan berikut:
2x + y = 7
x - y = 2
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Gunakan metode eliminasi. Jumlahkan kedua persamaan untuk menghilangkan variabel y:
(2x + y) + (x - y) = 7 + 2
3x = 9
x = 3
Substitusi nilai x = 3 ke persamaan kedua:
3 - y = 2
y = 3 - 2 = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1)}.
Soal Nomor 4 Level 1
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² - 5x + 6 = 0.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Faktorkan persamaan kuadrat tersebut. Kita cari dua angka yang jika dikali hasilnya 6 dan jika dijumlah hasilnya -5.
Angka tersebut adalah -2 dan -3.
(x - 2)(x - 3) = 0
Maka, x = 2 atau x = 3.
Soal Nomor 5 Level 1
Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari 2x² - 8x + 3 = 0, tentukan nilai dari x₁ + x₂.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Gunakan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat (ax² + bx + c = 0):
x₁ + x₂ = -b / a
Diketahui a = 2, b = -8, c = 3.
x₁ + x₂ = -(-8) / 2
x₁ + x₂ = 8 / 2 = 4.
Level 2: Aplikasi & Koneksi (MOTS)
Soal Nomor 6 Level 2
Sebuah garis melalui titik (1, 2) dan tegak lurus dengan garis y = -½x + 5. Tentukan persamaan garis tersebut.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
1. Tentukan gradien garis pertama (m₁). Dari persamaan y = -½x + 5, didapat m₁ = -½.
2. Karena tegak lurus, maka m₁ ⋅ m₂ = -1.
(-½) ⋅ m₂ = -1 → m₂ = 2.
3. Buat persamaan garis baru dengan m = 2 melalui titik (1, 2):
y - y₁ = m(x - x₁)
y - 2 = 2(x - 1)
y - 2 = 2x - 2
y = 2x - 2 + 2
y = 2x.
Soal Nomor 7 Level 2
Harga 3 buku dan 2 pensil adalah Rp19.000,00. Harga 2 buku dan 4 pensil adalah Rp18.000,00. Berapakah harga 1 buku?
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Misal Buku = B, Pensil = P.
(i) 3B + 2P = 19.000
(ii) 2B + 4P = 18.000 → (Sederhanakan dibagi 2) → B + 2P = 9.000
Eliminasi P dengan mengurangi persamaan (i) dengan persamaan yang sudah disederhanakan:
(3B + 2P) - (B + 2P) = 19.000 - 9.000
2B = 10.000
B = 5.000.
Jadi harga 1 buku adalah Rp5.000,00.
Soal Nomor 8 Level 2
Persamaan kuadrat x² + (m-2)x + 9 = 0 memiliki akar kembar. Tentukan nilai m yang positif.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Syarat akar kembar adalah Diskriminan (D) = 0.
D = b² - 4ac = 0
(m-2)² - 4(1)(9) = 0
(m-2)² - 36 = 0
(m-2)² = 36
m - 2 = ±6
Kemungkinan 1: m - 2 = 6 → m = 8 (Positif)
Kemungkinan 2: m - 2 = -6 → m = -4 (Negatif)
Karena diminta nilai m positif, maka jawabannya m = 8.
Soal Nomor 9 Level 2
Grafik fungsi kuadrat y = x² - 4x + p menyinggung sumbu X. Tentukan koordinat titik puncak grafik tersebut.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Syarat menyinggung sumbu X adalah D = 0 dan titik puncak yâ‚š pasti 0.
1. Cari p: b² - 4ac = 0 → (-4)² - 4(1)(p) = 0 → 16 - 4p = 0 → p = 4.
2. Fungsi menjadi: y = x² - 4x + 4.
3. Absis puncak (xâ‚š) = -b/2a = -(-4)/2(1) = 4/2 = 2.
4. Ordinat puncak (yâ‚š) = 0 (karena menyinggung).
Koordinat puncak = (2, 0).
Soal Nomor 10 Level 2
Diketahui x₁ dan x₂ adalah akar persamaan x² - 3x - 2 = 0. Hitunglah nilai dari x₁² + x₂².
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Dari persamaan: a=1, b=-3, c=-2.
Jumlah akar (x₁ + x₂) = -b/a = 3.
Kali akar (x₁ · x₂) = c/a = -2.
Rumus jumlah kuadrat:
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2(x₁x₂)
x₁² + x₂² = (3)² - 2(-2)
x₁² + x₂² = 9 + 4 = 13.
Soal Nomor 11 Level 2
Tentukan titik potong antara garis y = 2x + 1 dan kurva parabola y = x² - 2.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Substitusikan y garis ke y parabola:
x² - 2 = 2x + 1
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1.
Cari nilai y:
- Jika x = 3 → y = 2(3) + 1 = 7. Titik (3, 7).
- Jika x = -1 → y = 2(-1) + 1 = -1. Titik (-1, -1).
Soal Nomor 12 Level 2
Sebuah fungsi kuadrat memotong sumbu X di titik (-1, 0) dan (3, 0) serta memotong sumbu Y di (0, -6). Tentukan persamaan fungsi tersebut.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Diketahui memotong sumbu X di x₁ = -1 dan x₂ = 3, maka rumus:
y = a(x - x₁)(x - x₂)
y = a(x + 1)(x - 3)
Untuk mencari nilai 'a', substitusi titik potong Y (0, -6):
-6 = a(0 + 1)(0 - 3)
-6 = a(1)(-3)
-6 = -3a → a = 2.
Persamaan lengkap:
y = 2(x + 1)(x - 3)
y = 2(x² - 2x - 3)
y = 2x² - 4x - 6.
Soal Nomor 13 Level 2
Diketahui sistem persamaan non-linear sederhana:
2/x + 1/y = 1
1/x - 2/y = 8
Tentukan nilai x + y.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Misal a = 1/x dan b = 1/y.
(i) 2a + b = 1
(ii) a - 2b = 8 → kalikan 2 → 2a - 4b = 16
Kurangkan (i) dengan (ii modifikasi):
(2a + b) - (2a - 4b) = 1 - 16
5b = -15 → b = -3.
Substitusi b ke (i): 2a - 3 = 1 → 2a = 4 → a = 2.
Kembalikan ke x dan y:
a = 2 → 1/x = 2 → x = 1/2.
b = -3 → 1/y = -3 → y = -1/3.
Nilai x + y = 1/2 + (-1/3) = 3/6 - 2/6 = 1/6.
Soal Nomor 14 Level 2
Sebuah persegi panjang memiliki keliling 40 cm. Agar luas persegi panjang tersebut maksimum, berapakah panjang sisinya?
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Keliling = 2(p + l) = 40 → p + l = 20 → l = 20 - p.
Luas (L) = p × l = p(20 - p) = 20p - p².
Ini adalah fungsi kuadrat L(p) = -p² + 20p.
Luas maksimum terjadi di sumbu simetri (puncak):
p = -b / 2a = -20 / 2(-1) = -20 / -2 = 10.
Jadi panjang sisinya adalah 10 cm (Bentuk persegi).
Level 3: Analisis & Penalaran (HOTS)
Soal Nomor 15 HOTS
Persamaan kuadrat x² + (k+1)x + 4 = 0 tidak memiliki akar real. Tentukan batas-batas nilai k yang memenuhi.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Syarat tidak memiliki akar real adalah Diskriminan (D) < 0.
b² - 4ac < 0
(k + 1)² - 4(1)(4) < 0
(k + 1)² - 16 < 0
(k + 1)² < 16
Ini pertidaksamaan kuadrat. Akar-akarnya adalah √16 = ±4.
-4 < k + 1 < 4
Kurangi semua ruas dengan 1:
-4 - 1 < k < 4 - 1
-5 < k < 3.
Soal Nomor 16 HOTS
Di tempat parkir terdapat mobil (roda 4) dan motor (roda 2). Jumlah kendaraan 60 unit, jumlah roda 160. Tarif mobil Rp5.000, motor Rp2.000. Berapakah total pendapatan parkir?
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Misal Mobil = x, Motor = y.
(i) Jumlah kendaraan: x + y = 60 → y = 60 - x
(ii) Jumlah roda: 4x + 2y = 160 → bagi 2 → 2x + y = 80
Substitusi (i) ke (ii):
2x + (60 - x) = 80
x + 60 = 80 → x = 20 (Mobil)
y = 60 - 20 = 40 (Motor)
Pendapatan:
= (20 × 5.000) + (40 × 2.000)
= 100.000 + 80.000
= Rp180.000,00.
Soal Nomor 17 HOTS
Diketahui persamaan x² - mx + 8 = 0 memiliki akar x₁ dan x₂ dengan hubungan x₁ = 2x₂. Nilai m diketahui positif.
P = Nilai m
Q = 6
Manakah hubungan yang benar antara P dan Q?
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Perkalian akar: x₁ ⋅ x₂ = c/a = 8.
Substitusi x₁ = 2x₂:
(2x₂) ⋅ x₂ = 8
2x₂² = 8 → x₂² = 4 → x₂ = ±2.
Jumlah akar: x₁ + x₂ = -b/a = m.
Karena m positif, maka akar-akarnya harus positif (jika negatif hasilnya m negatif).
Ambil x₂ = 2, maka x₁ = 2(2) = 4.
m = x₁ + x₂ = 4 + 2 = 6.
Nilai P = 6, Nilai Q = 6. Maka P = Q.
Soal Nomor 18 HOTS
Apakah garis ax + by = c memotong sumbu X positif?
(1) a > 0
(2) b < 0 dan c > 0
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Memotong sumbu X berarti y = 0.
ax = c → x = c/a.
Agar memotong sumbu X positif, maka nilai x (yaitu c/a) harus positif (>0).
Cek (1): a > 0. Kita tidak tahu nilai c. (Tidak Cukup)
Cek (2): b < 0, c > 0. Kita tidak tahu nilai a. (Tidak Cukup)
Cek Bersama: a > 0 (positif) dan c > 0 (positif).
Maka x = c/a = (+)/(+) = Positif.
Kesimpulan: Dua pernyataan bersama-sama cukup.
Soal Nomor 19 HOTS
Tinggi peluru (h) dirumuskan h(t) = 40t - 5t². Tentukan interval waktu saat tinggi peluru lebih dari 60 meter.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
h(t) > 60
40t - 5t² > 60
-5t² + 40t - 60 > 0 (Bagi dengan -5, tanda pertidaksamaan berbalik)
t² - 8t + 12 < 0
(t - 2)(t - 6) < 0
Pembuat nol di t=2 dan t=6. Karena tanda "<", maka himpunan penyelesaian ada di antara angka tersebut.
2 < t < 6 detik.
Soal Nomor 20 HOTS
Jika sistem persamaan linear berikut memiliki tak hingga banyaknya solusi:
2x - 3y = 7
4x - py = 14
Tentukan nilai p.
Klik untuk intip Kunci Jawaban
Pembahasan:
Sistem persamaan memiliki solusi tak hingga jika kedua garis berimpit (identik). Syaratnya perbandingan koefisien x, y, dan konstanta harus sama.
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
2/4 = -3/(-p) = 7/14
1/2 = 3/p = 1/2
Ambil 3/p = 1/2
p = 3 × 2
p = 6.
📥 Download Materi & Soal PDF
Ingin mencetak soal ini untuk latihan di rumah? Unduh versi PDF lengkap melalui tombol di bawah ini:
DOWNLOAD PDF ALJABAR 🚀Terus berlatih dan jangan menyerah! #PejuangPTN
Tidak ada komentar: