Kumpulan Soal PK UTBK Terstruktur
Materi: Aljabar, Titik Potong, Logaritma, & Fungsi Tangga
💡 Rangkuman Materi Scaffolding
Urutan Operasi
Ingat PEMDAS/Kabataku: Kurung, Pangkat, Kali/Bagi, Tambah/Kurang.
Logaritma Dasar
\( {}^a\log b = c \iff a^c = b \).
Sifat: \( \log(bc) = \log b + \log c \).
Sifat: \( \log(bc) = \log b + \log c \).
Fungsi Ceiling
\( \lceil x \rceil \) = bilangan bulat terkecil \( \ge x \).
\( \lceil x+n \rceil = \lceil x \rceil + n \) (jika \( n \in \mathbb{Z} \)).
\( \lceil x+n \rceil = \lceil x \rceil + n \) (jika \( n \in \mathbb{Z} \)).
Cara Menggunakan: Bacalah soal dengan teliti, coba kerjakan di kertas coretan, lalu klik "Lihat Pembahasan" untuk mencocokkan hasil akhir dan langkah pengerjaannya.
Topik 1: Operasi Aljabar
4 Soal
Soal #1
Latihan
Jika diketahui \( \frac{6}{x} = -2 \), tentukan nilai \( x \).
Lihat Pembahasan
Jawaban: -3
Langkah: \( 6 = -2x \Rightarrow x = \frac{6}{-2} = -3 \).
Langkah: \( 6 = -2x \Rightarrow x = \frac{6}{-2} = -3 \).
Soal #2
Latihan
Tentukan nilai \( y \) yang memenuhi persamaan \( 10 - y = 15 \).
Lihat Pembahasan
Jawaban: -5
Langkah: \( -y = 15 - 10 \Rightarrow -y = 5 \Rightarrow y = -5 \).
Langkah: \( -y = 15 - 10 \Rightarrow -y = 5 \Rightarrow y = -5 \).
Soal #3
Latihan
Hitunglah hasil dari \( 10 - 4 : 2 \).
Lihat Pembahasan
Jawaban: 8
Langkah: Kerjakan pembagian dulu. \( 10 - (4 : 2) = 10 - 2 = 8 \).
Langkah: Kerjakan pembagian dulu. \( 10 - (4 : 2) = 10 - 2 = 8 \).
Soal #4
Masalah Utama
Jika \( A \) memenuhi persamaan \( 18 - 5 : A = 22 \), maka nilai dari \( A \) adalah...
Lihat Pembahasan
Jawaban: -1,25
Langkah:
\( 18 - \frac{5}{A} = 22 \)
\( -\frac{5}{A} = 22 - 18 \)
\( -\frac{5}{A} = 4 \)
\( -5 = 4A \Rightarrow A = -\frac{5}{4} = -1,25 \).
Langkah:
\( 18 - \frac{5}{A} = 22 \)
\( -\frac{5}{A} = 22 - 18 \)
\( -\frac{5}{A} = 4 \)
\( -5 = 4A \Rightarrow A = -\frac{5}{4} = -1,25 \).
Topik 2: Titik Potong Kurva
4 Soal
Soal #5
Latihan
Diketahui titik \( A(a, -7) \) terletak pada garis \( y = 3x - 1 \). Tentukan nilai absis \( a \) dari titik tersebut.
Lihat Pembahasan
Jawaban: -2
Langkah: Substitusi \( y = -7 \) dan \( x = a \).
\( -7 = 3a - 1 \Rightarrow -6 = 3a \Rightarrow a = -2 \).
Langkah: Substitusi \( y = -7 \) dan \( x = a \).
\( -7 = 3a - 1 \Rightarrow -6 = 3a \Rightarrow a = -2 \).
Soal #6
Latihan
Tentukan koordinat titik potong lengkap \( (x, y) \) antara garis \( y = 2x + 1 \) dan garis \( y = -x + 7 \).
Lihat Pembahasan
Jawaban: (2, 5)
Langkah:
\( 2x + 1 = -x + 7 \)
\( 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \).
Substitusi ke salah satu: \( y = 2(2) + 1 = 5 \).
Langkah:
\( 2x + 1 = -x + 7 \)
\( 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \).
Substitusi ke salah satu: \( y = 2(2) + 1 = 5 \).
Soal #7
Latihan
Faktorkan persamaan kuadrat \( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \) untuk mendapatkan himpunan penyelesaiannya.
Lihat Pembahasan
Jawaban: { -0,5 , 3 }
Langkah: \( (2x + 1)(x - 3) = 0 \).
\( 2x = -1 \rightarrow x = -0,5 \) atau \( x = 3 \).
Langkah: \( (2x + 1)(x - 3) = 0 \).
\( 2x = -1 \rightarrow x = -0,5 \) atau \( x = 3 \).
Soal #8
Masalah Utama
Absis terbesar dari semua titik potong kurva \( f(x) = 4 - x^2 \) dan garis \( g(x) = x - 2 \) adalah...
Lihat Pembahasan
Jawaban: 2
Langkah:
\( 4 - x^2 = x - 2 \)
\( 0 = x^2 + x - 6 \)
\( 0 = (x + 3)(x - 2) \)
Akar: \( x = -3 \) atau \( x = 2 \). Absis terbesar adalah 2.
Langkah:
\( 4 - x^2 = x - 2 \)
\( 0 = x^2 + x - 6 \)
\( 0 = (x + 3)(x - 2) \)
Akar: \( x = -3 \) atau \( x = 2 \). Absis terbesar adalah 2.
Topik 3: Persamaan Logaritma
4 Soal
Soal #9
Latihan
Ubahlah bilangan 1 menjadi bentuk logaritma basis 2 dan bilangan 2 menjadi bentuk logaritma basis 3.
Lihat Pembahasan
Jawaban: \( {}^2\log 2 \) dan \( {}^3\log 9 \)
Sifat: \( a = {}^b\log b^a \).
\( 1 = {}^2\log 2^1 = {}^2\log 2 \).
\( 2 = {}^3\log 3^2 = {}^3\log 9 \).
Sifat: \( a = {}^b\log b^a \).
\( 1 = {}^2\log 2^1 = {}^2\log 2 \).
\( 2 = {}^3\log 3^2 = {}^3\log 9 \).
Soal #10
Latihan
Sederhanakan bentuk \( \log 100 - {}^5\log 4 + {}^5\log x \) menjadi satu bentuk logaritma tunggal.
Lihat Pembahasan
Jawaban: \( 2 + {}^5\log(x/4) \)
Catatan: \( \log 100 = 2 \). Sisanya menggunakan sifat pengurangan: \( {}^5\log x - {}^5\log 4 = {}^5\log(x/4) \).
Catatan: \( \log 100 = 2 \). Sisanya menggunakan sifat pengurangan: \( {}^5\log x - {}^5\log 4 = {}^5\log(x/4) \).
Soal #11
Latihan
Tentukan nilai positif \( x \) yang memenuhi persamaan \( {}^3\log(x^2 - 1) = {}^3\log 8 \).
Lihat Pembahasan
Jawaban: 3
Langkah: \( x^2 - 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \). Karena diminta nilai positif, maka \( x = 3 \).
Langkah: \( x^2 - 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \). Karena diminta nilai positif, maka \( x = 3 \).
Soal #12
Masalah Utama
Diketahui persamaan \( {}^2\log(x^2 + 5x - 12) = 2 + {}^2\log x \).
Manakah hubungan yang benar antara kuantitas P dan Q berikut?
P: Nilai \( x^2 \)
Q: 10
Manakah hubungan yang benar antara kuantitas P dan Q berikut?
P: Nilai \( x^2 \)
Q: 10
Lihat Pembahasan
Jawaban: P < Q
Langkah:
\( {}^2\log(x^2 + 5x - 12) = {}^2\log 4 + {}^2\log x \)
\( {}^2\log(x^2 + 5x - 12) = {}^2\log(4x) \)
\( x^2 + 5x - 12 = 4x \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 3) = 0 \). Karena numerus \( x > 0 \), maka \( x = 3 \).
Nilai \( P = x^2 = 3^2 = 9 \).
Karena \( P = 9 \) dan \( Q = 10 \), maka \( P < Q \).
Langkah:
\( {}^2\log(x^2 + 5x - 12) = {}^2\log 4 + {}^2\log x \)
\( {}^2\log(x^2 + 5x - 12) = {}^2\log(4x) \)
\( x^2 + 5x - 12 = 4x \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 3) = 0 \). Karena numerus \( x > 0 \), maka \( x = 3 \).
Nilai \( P = x^2 = 3^2 = 9 \).
Karena \( P = 9 \) dan \( Q = 10 \), maka \( P < Q \).
Topik 4: Fungsi Bilangan Bulat (Ceiling)
4 Soal
Soal #13
Latihan
Hitunglah hasil operasi dari \( \lceil -3.2 \rceil + \lceil 5.1 \rceil \).
Lihat Pembahasan
Jawaban: 3
Langkah: \( \lceil -3.2 \rceil = -3 \) (bulat terkecil \( \ge -3.2 \)).
\( \lceil 5.1 \rceil = 6 \).
Hasil: \( -3 + 6 = 3 \).
Langkah: \( \lceil -3.2 \rceil = -3 \) (bulat terkecil \( \ge -3.2 \)).
\( \lceil 5.1 \rceil = 6 \).
Hasil: \( -3 + 6 = 3 \).
Soal #14
Latihan
Jika diketahui \( \lceil x - 2 \rceil = 4 \), tentukan interval nilai \( x \) yang memenuhi.
Lihat Pembahasan
Jawaban: \( 5 < x \le 6 \)
Sifat: Jika \( \lceil u \rceil = k \), maka \( k - 1 < u \le k \).
\( 4 - 1 < x - 2 \le 4 \Rightarrow 3 < x - 2 \le 4 \).
Tambah 2 ke semua ruas: \( 5 < x \le 6 \).
Sifat: Jika \( \lceil u \rceil = k \), maka \( k - 1 < u \le k \).
\( 4 - 1 < x - 2 \le 4 \Rightarrow 3 < x - 2 \le 4 \).
Tambah 2 ke semua ruas: \( 5 < x \le 6 \).
Soal #15
Latihan
Jika \( \lceil x + 3.5 \rceil = 7 \), berapakah interval nilai dari \( x \)?
Lihat Pembahasan
Jawaban: \( 2.5 < x \le 3.5 \)
Langkah: \( 6 < x + 3.5 \le 7 \).
Kurangi 3.5: \( 2.5 < x \le 3.5 \).
Langkah: \( 6 < x + 3.5 \le 7 \).
Kurangi 3.5: \( 2.5 < x \le 3.5 \).
Soal #16
Masalah Utama
Bilangan real \( a \) adalah solusi dari: \( 3 < \lceil x - 2 \rceil < 5 \) dan \( 5 < \lceil x + 1 \rceil < 8 \).
P: Nilai \( a \), Q: 5. Hubungan yang benar adalah...
P: Nilai \( a \), Q: 5. Hubungan yang benar adalah...
Lihat Pembahasan
Jawaban: P > Q
Langkah:
1. \( \lceil x - 2 \rceil = 4 \Rightarrow 3 < x - 2 \le 4 \Rightarrow 5 < x \le 6 \).
2. \( \lceil x + 1 \rceil \) bisa bernilai 6 atau 7.
- Jika 6: \( 5 < x + 1 \le 6 \Rightarrow 4 < x \le 5 \). (Tidak beririsan dengan syarat 1).
- Jika 7: \( 6 < x + 1 \le 7 \Rightarrow 5 < x \le 6 \). (Beririsan).
Irisan solusi: \( 5 < x \le 6 \). Karena setiap nilai \( a \) pasti lebih besar dari 5, maka \( P > Q \).
Langkah:
1. \( \lceil x - 2 \rceil = 4 \Rightarrow 3 < x - 2 \le 4 \Rightarrow 5 < x \le 6 \).
2. \( \lceil x + 1 \rceil \) bisa bernilai 6 atau 7.
- Jika 6: \( 5 < x + 1 \le 6 \Rightarrow 4 < x \le 5 \). (Tidak beririsan dengan syarat 1).
- Jika 7: \( 6 < x + 1 \le 7 \Rightarrow 5 < x \le 6 \). (Beririsan).
Irisan solusi: \( 5 < x \le 6 \). Karena setiap nilai \( a \) pasti lebih besar dari 5, maka \( P > Q \).
Topik 5: Substitusi Persamaan Kuadrat
4 Soal
Soal #17
Latihan
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat \( m^2 - 2m - 15 = 0 \).
Lihat Pembahasan
Jawaban: { -3, 5 }
Langkah: \( (m - 5)(m + 3) = 0 \).
Langkah: \( (m - 5)(m + 3) = 0 \).
Soal #18
Latihan
Jika diketahui \( f(x) = \frac{1}{2}x + 1 \) dan \( f(x) = 4 \), berapakah nilai \( x \)?
Lihat Pembahasan
Jawaban: 6
Langkah: \( \frac{1}{2}x + 1 = 4 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 3 \Rightarrow x = 6 \).
Langkah: \( \frac{1}{2}x + 1 = 4 \Rightarrow \frac{1}{2}x = 3 \Rightarrow x = 6 \).
Soal #19
Latihan
Persamaan kuadrat \( x^2 - 12x + 35 = 0 \) memiliki akar-akar \( x_1 \) dan \( x_2 \). Tentukan nilai \( x_1 + x_2 \).
Lihat Pembahasan
Jawaban: 12
Langkah: Gunakan rumus jumlah akar \( x_1 + x_2 = -b/a \).
\( x_1 + x_2 = -(-12)/1 = 12 \).
Langkah: Gunakan rumus jumlah akar \( x_1 + x_2 = -b/a \).
\( x_1 + x_2 = -(-12)/1 = 12 \).
Soal #20
Masalah Utama
Jika \( x_1 \) dan \( x_2 \) memenuhi persamaan \( (f(x))^2 - 6f(x) + 8 = 0 \) dengan \( f(x) = x - 4 \), maka nilai dari \( x_1 + x_2 \) adalah...
Lihat Pembahasan
Jawaban: 14
Langkah:
Misal \( y = f(x) \). Persamaan menjadi \( y^2 - 6y + 8 = 0 \).
Faktorkan: \( (y - 2)(y - 4) = 0 \Rightarrow y = 2 \) atau \( y = 4 \).
Kembalikan ke \( x \):
- \( x - 4 = 2 \Rightarrow x_1 = 6 \).
- \( x - 4 = 4 \Rightarrow x_2 = 8 \).
Jumlah akar: \( 6 + 8 = 14 \).
Langkah:
Misal \( y = f(x) \). Persamaan menjadi \( y^2 - 6y + 8 = 0 \).
Faktorkan: \( (y - 2)(y - 4) = 0 \Rightarrow y = 2 \) atau \( y = 4 \).
Kembalikan ke \( x \):
- \( x - 4 = 2 \Rightarrow x_1 = 6 \).
- \( x - 4 = 4 \Rightarrow x_2 = 8 \).
Jumlah akar: \( 6 + 8 = 14 \).
📥 Butuh Versi Cetak?
Anda bisa mengunduh modul lengkap dalam format PDF untuk latihan offline.
DOWNLOAD PDF MODUL 🚀
Tags: #UTBK #PengetahuanKuantitatif #Bilangan #OlimpiadeMatematika #SNBT
Latihan Soal dan Pembahasan Aljabar dan Fungsi - Paket 2
![Latihan Soal dan Pembahasan Aljabar dan Fungsi - Paket 2]()
Reviewed by Genta Maulana M
on
Januari 27, 2026
Rating:
Tidak ada komentar: