Latihan Soal dan Pembahasan UTBK Pengetahuan Kuantitatif - Operasi Hitung Bilangan

Latihan Intensif UTBK: Pengetahuan Kuantitatif

Materi: Bilangan & Operasi Hitung

Halo sobat pejuang UTBK! Modul ini berisi 30 soal yang terdiri dari Pilihan Ganda standar dan Kecukupan Data (Data Sufficiency).

Fitur Platform:

• Mode Belajar: Klik 👉 Lihat Kunci Jawaban untuk pembahasan detail langkah demi langkah.
• Mode Ujian: Kerjakan semua soal, lalu klik "Cek Nilai Saya" di bawah.

📝 Rangkuman Sifat Bilangan

1. Operasi Bilangan

• Paritas: Genap $\pm$ Genap = Genap; Ganjil $\pm$ Ganjil = Genap; Genap $\pm$ Ganjil = Ganjil.
• Perkalian: Ganjil $\times$ Ganjil = Ganjil. Semua perkalian lain yang melibatkan Genap hasilnya Genap.

2. Keterbagian

• Habis dibagi 2: Digit terakhir adalah bilangan genap (0, 2, 4, 6, 8).
• Habis dibagi 3: Jumlah seluruh digitnya habis dibagi 3.
• Habis dibagi 4: Dua digit terakhir membentuk bilangan yang habis dibagi 4.
• Habis dibagi 5: Digit terakhir adalah 0 atau 5.
• Habis dibagi 6: Bilangan genap yang jumlah digitnya habis dibagi 3 (syarat 2 & 3 terpenuhi).
• Habis dibagi 8: Tiga digit terakhir membentuk bilangan yang habis dibagi 8.
• Habis dibagi 9: Jumlah seluruh digitnya habis dibagi 9.
• Habis dibagi 10: Digit terakhir adalah 0.
• Habis dibagi 11: Selisih antara jumlah digit posisi ganjil dan jumlah digit posisi genap adalah 0 atau kelipatan 11. (Contoh: 1331 \(\to (1+3) - (3+1) = 0\)).

---

Bagian 1: Pilihan Ganda (No. 1 - 10)

Soal No. 1 LOTS

Hasil dari \(\frac{0,04 \times 0,04 \times 0,04}{0,008 \times 0,008}\) adalah ...

A. 0,01 B. 0,1 C. 1 D. 10 E. 100

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: C (1)

Pembahasan:
Ubah bilangan desimal menjadi notasi ilmiah agar mudah dihitung:

• \(0,04 = 4 \times 10^{-2}\)
• \(0,008 = 8 \times 10^{-3}\)

Substitusikan ke soal: \[ \frac{(4 \times 10^{-2})^3}{(8 \times 10^{-3})^2} = \frac{4^3 \times 10^{-6}}{8^2 \times 10^{-6}} \] Perhatikan bahwa \(10^{-6}\) di pembilang dan penyebut saling menghilangkan. \[ \frac{64}{64} = 1 \] Jadi, hasilnya adalah 1.

Soal No. 2 LOTS

Jika \(a = \sqrt[3]{216} \div 2^{-1}\) dan \(b = 3^2 + 4\), maka hubungan yang benar adalah ...

A. \(a < b\) B. \(a > b\) C. \(a = b\) D. \(a = 2b\) E. Hubungan tak tentu

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: A (\(a < b\))

Pembahasan:
Langkah 1: Hitung nilai a
\(\sqrt[3]{216} = 6\) (karena \(6 \times 6 \times 6 = 216\)).
\(2^{-1} = \frac{1}{2}\).
\(a = 6 \div \frac{1}{2} = 6 \times 2 = 12\).

Langkah 2: Hitung nilai b
\(b = 3^2 + 4 = 9 + 4 = 13\).

Kesimpulan:
Karena \(12 < 13\), maka hubungan yang benar adalah \(a < b\).

Soal No. 3 MOTS

Operasi \(\odot\) pada himpunan bilangan bulat didefinisikan dengan aturan \(x \odot y = x(y - 1) - x\). Nilai dari \(3 \odot (2 \odot 4)\) adalah ...

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 E. 18

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: A (6)

Pembahasan:
Definisi: \(x \odot y = x(y - 1) - x\).

Langkah 1: Kerjakan yang di dalam kurung \((2 \odot 4)\)
Di sini \(x=2, y=4\).
\(2 \odot 4 = 2(4 - 1) - 2 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4\).

Langkah 2: Kerjakan operasi luar \(3 \odot (\text{Hasil Langkah 1})\)
Jadi kita mencari \(3 \odot 4\). Di sini \(x=3, y=4\).
\(3 \odot 4 = 3(4 - 1) - 3 = 3(3) - 3 = 9 - 3 = 6\).

Soal No. 4 MOTS

Bilangan \(X\) adalah \(33\frac{1}{3}\%\) dari 45, dan \(Y\) adalah \(\frac{1}{4}\) dari 60. Pernyataan berikut yang benar adalah ...

A. \(X\) dan \(Y\) bilangan prima B. \(X > Y\) C. \(X < Y\) D. \(X = Y\) E. \(X\) faktor dari \(Y\)

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: D (\(X = Y\))

Pembahasan:
Menghitung X:
Ingat pecahan istimewa: \(33\frac{1}{3}\% = \frac{1}{3}\).
\(X = \frac{1}{3} \times 45 = 15\).

Menghitung Y:
\(Y = \frac{1}{4} \times 60 = 15\).

Kesimpulan:
Karena \(X = 15\) dan \(Y = 15\), maka pernyataan yang benar adalah \(X = Y\).

Soal No. 5 MOTS

Jika \(\frac{a}{b} = \frac{3}{5}\) dan \(\frac{b}{c} = \frac{5}{7}\), maka nilai dari \(\frac{a + b}{b + c}\) adalah ...

A. \(\frac{2}{3}\) B. \(\frac{3}{4}\) C. \(\frac{8}{12}\) D. \(\frac{2}{5}\) E. \(\frac{4}{5}\)

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: A (\(\frac{2}{3}\))

Pembahasan:
Perhatikan variabel penghubung yaitu \(b\).
Pada perbandingan pertama \(a:b = 3:5\).
Pada perbandingan kedua \(b:c = 5:7\).
Karena nilai \(b\) sudah sama (yaitu 5), kita bisa langsung menggabungkan perbandingannya menjadi:
\(a : b : c = 3 : 5 : 7\).

Substitusikan nilai perbandingan tersebut ke soal:
\(\frac{a + b}{b + c} = \frac{3 + 5}{5 + 7} = \frac{8}{12}\).
Sederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 4:
\(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).

Soal No. 6 HOTS

Diketahui \(m\) dan \(n\) adalah bilangan bulat positif genap. Manakah dari berikut ini yang \textbf{pasti} ganjil?

A. \(m^2 + n^2\) B. \((m+1)(n+1)\) C. \(m + n\) D. \(3m + n\) E. \(mn + 2\)

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: B

Pembahasan:
Diketahui \(m\) = Genap, \(n\) = Genap. Gunakan sifat paritas:

• Opsi A: Genap\(^2\) + Genap\(^2\) = Genap + Genap = Genap.
• Opsi B: \((m+1)\) adalah Ganjil (karena Genap + 1). \((n+1)\) juga Ganjil.
  Perkalian Ganjil \(\times\) Ganjil = Ganjil.
• Opsi C: Genap + Genap = Genap.
• Opsi D: 3(Genap) + Genap = Genap + Genap = Genap.
• Opsi E: (Genap)(Genap) + 2 = Genap + Genap = Genap.

Hanya opsi B yang pasti ganjil.

Soal No. 7 HOTS

Jumlah dua bilangan adalah 60. Jika bilangan yang lebih besar dibagi dengan bilangan yang lebih kecil, hasil baginya adalah 3 dan sisanya 4. Selisih kedua bilangan tersebut adalah ...

A. 28 B. 30 C. 32 D. 34 E. 36

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: C (32)

Pembahasan:
Misalkan bilangan besar = \(x\) dan bilangan kecil = \(y\).
Persamaan 1: \(x + y = 60 \Rightarrow x = 60 - y\).
Persamaan 2: \(x = 3y + 4\) (Ingat konsep sisa bagi: \(A = B \cdot \text{hasil} + \text{sisa}\)).

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2:
\(60 - y = 3y + 4\)
\(60 - 4 = 3y + y\)
\(56 = 4y\)
\(y = 14\).

Cari \(x\): \(x = 60 - 14 = 46\).
Selisih: \(x - y = 46 - 14 = 32\).

Soal No. 8 HOTS

Jika \(2023^{2024} - 2023^{2023} = 2023^x \cdot y\), dengan \(y\) adalah bilangan bulat terkecil yang mungkin, maka nilai \(y\) adalah ...

A. 1 B. 2022 C. 2023 D. 2024 E. 4046

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: B (2022)

Pembahasan:
Gunakan sifat distributif (faktorkan pangkat terkecil):
\(2023^{2024} - 2023^{2023}\)
\(= 2023^{2023} \cdot (2023^1 - 1)\)
\(= 2023^{2023} \cdot (2023 - 1)\)
\(= 2023^{2023} \cdot 2022\).

Bentuk ini sesuai dengan \(2023^x \cdot y\).
Diperoleh \(x = 2023\) dan \(y = 2022\).
Jadi, nilai \(y\) adalah 2022.

Soal No. 9 MOTS

Bilangan \(1, 2, 3, \dots, 9\) disusun dalam sebuah tabel \(3 \times 3\). Jika jumlah angka pada setiap baris, kolom, dan diagonal adalah sama, berapakah angka yang berada tepat di tengah tabel (pusat)?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: C (5)

Pembahasan:
Ini adalah konsep Magic Square (Persegi Ajaib).
Sifat Persegi Ajaib ganjil (\(3 \times 3, 5 \times 5\), dst) dengan deret aritmatika:
Angka Pusat = Median (Nilai Tengah) dari deret bilangan tersebut.
Deret: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\).
Nilai tengahnya adalah 5.

Soal No. 10 HOTS

Diberikan pecahan \(\frac{x}{y}\). Jika pembilang ditambah 3, pecahan bernilai \(\frac{3}{4}\). Jika penyebut dikurangi 2, pecahan bernilai \(\frac{2}{3}\). Nilai \(x + y\) adalah ...

A. 20 B. 26 C. 28 D. 32 E. 38

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: D (32)

Pembahasan:
Modelkan soal ke persamaan matematika:
1. \(\frac{x+3}{y} = \frac{3}{4} \Rightarrow 4(x+3) = 3y \Rightarrow 4x + 12 = 3y\).
2. \(\frac{x}{y-2} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3x = 2(y-2) \Rightarrow 3x = 2y - 4\).

Dari pers (1): \(3y = 4x + 12 \Rightarrow y = \frac{4x+12}{3}\).
Substitusi ke pers (2):
\(3x = 2(\frac{4x+12}{3}) - 4\)
Kali semua dengan 3 agar pecahan hilang:
\(9x = 2(4x + 12) - 12\)
\(9x = 8x + 24 - 12\)
\(9x - 8x = 12 \Rightarrow x = 12\).

Cari \(y\): \(y = \frac{4(12)+12}{3} = \frac{48+12}{3} = \frac{60}{3} = 20\).
Maka, \(x + y = 12 + 20 = 32\).

Bagian 2: Kecukupan Data (No. 11 - 20)

Petunjuk Pilihan Jawaban Kecukupan Data:

• A: Pernyataan (1) SAJA cukup, tetapi (2) tidak.
• B: Pernyataan (2) SAJA cukup, tetapi (1) tidak.
• C: DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup.
• D: Pernyataan (1) SAJA cukup dan (2) SAJA cukup.
• E: Kedua pernyataan TIDAK cukup.

Soal No. 11 Data Sufficiency

Apakah \(x\) adalah bilangan positif?
(1) \(x^2 > 4\)
(2) \(x^3 > 8\)

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: B

Pembahasan:
Pernyataan (1): \(x^2 > 4\).
Ini berarti \(x > 2\) ATAU \(x < -2\).
Nilai \(x\) bisa positif (misal 3) dan bisa negatif (misal -3). Jadi, TIDAK CUKUP.

Pernyataan (2): \(x^3 > 8\).
Karena pangkat 3 mempertahankan tanda (positif tetap positif, negatif tetap negatif), maka \(x\) haruslah lebih besar dari 2 (\(x > 2\)).
Ini menjamin \(x\) pasti positif. Jadi, CUKUP.

Soal No. 12 Data Sufficiency

Berapakah nilai dari \(a - b\)?
(1) \((a+b)^2 = 36\)
(2) \(a^2 - b^2 = 12\)

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: E

Pembahasan:
Pernyataan (1): \((a+b)^2 = 36 \Rightarrow a+b = 6\) atau \(a+b = -6\). Tidak memberi info tentang \(a-b\).

Pernyataan (2): \(a^2 - b^2 = 12 \Rightarrow (a-b)(a+b) = 12\). Karena \(a+b\) tidak diketahui, \(a-b\) tidak bisa dicari.

Gabungan (1) dan (2):
Jika \(a+b = 6\), maka \(6(a-b)=12 \Rightarrow a-b = 2\).
Jika \(a+b = -6\), maka \(-6(a-b)=12 \Rightarrow a-b = -2\).
Karena ada dua kemungkinan nilai (\(2\) atau \(-2\)), maka data masih TIDAK CUKUP.

Soal No. 13 Data Sufficiency

Apakah bilangan bulat \(n\) habis dibagi 12?
(1) \(n\) habis dibagi 4
(2) \(n\) habis dibagi 3

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: C

Pembahasan:
Faktor dari 12 adalah 3 dan 4 (karena 3 dan 4 saling prima relatif, artinya FPB-nya 1).
Pernyataan (1): Habis dibagi 4. Contoh: 8 (tidak habis dibagi 12), 12 (habis). Tidak cukup.
Pernyataan (2): Habis dibagi 3. Contoh: 9 (tidak habis dibagi 12), 12 (habis). Tidak cukup.
Gabungan: Jika bilangan habis dibagi 3 DAN habis dibagi 4, maka bilangan itu pasti habis dibagi \(3 \times 4 = 12\). CUKUP.

Soal No. 14 Data Sufficiency

Diketahui \(x\) dan \(y\) adalah bilangan bulat. Apakah \(xy\) genap?
(1) \(x + y\) adalah bilangan ganjil.
(2) \(x - y\) adalah bilangan ganjil.

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: D

Pembahasan:
Agar hasil kali \(xy\) genap, setidaknya salah satu dari \(x\) atau \(y\) harus genap.
Pernyataan (1): \(x + y\) ganjil. Ini hanya mungkin terjadi jika satu bilangan Genap dan satunya Ganjil. Karena ada yang genap, maka \(xy\) pasti Genap. (CUKUP).
Pernyataan (2): \(x - y\) ganjil. Ini juga hanya terjadi jika paritasnya berbeda (satu genap, satu ganjil). Maka \(xy\) pasti Genap. (CUKUP).

Soal No. 15 Data Sufficiency

Apakah \(x > y\)?
(1) \(\frac{x}{y} > 1\)
(2) \(y < 0\)

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: C

Pembahasan:
Pernyataan (1): \(\frac{x}{y} > 1\).
- Jika \(y\) positif, maka \(x > y\).
- Jika \(y\) negatif, maka tanda pertidaksamaan dibalik saat dikali \(y\), menjadi \(x < y\).
Karena \(y\) belum tentu positif/negatif, tidak cukup.

Pernyataan (2): \(y < 0\). Tidak ada info tentang \(x\). Tidak cukup.

Gabungan:
Diketahui \(y\) negatif. Agar hasil bagi \(\frac{x}{y}\) positif (>1), maka \(x\) juga harus negatif. Karena pembagian bilangan negatif menghasilkan nilai > 1 (misal \(\frac{-3}{-2} = 1,5\)), ini berarti nilai mutlak pembilang lebih besar dari penyebut (\(|x| > |y|\)). Pada garis bilangan negatif, bilangan dengan nilai mutlak lebih besar justru nilainya lebih kecil (lebih ke kiri). Contoh: \(x=-3, y=-2 \Rightarrow -3 < -2\). Jadi, kita bisa menyimpulkan dengan pasti bahwa \(x\) TIDAK lebih besar dari \(y\). (CUKUP).

Soal No. 16 Data Sufficiency

Berapakah nilai \(x\)?
(1) \(3^x = 81\)
(2) \(x^2 = 16\)

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: A

Pembahasan:
Pernyataan (1): \(3^x = 81 \Rightarrow 3^x = 3^4 \Rightarrow x = 4\). Nilainya tunggal. (CUKUP).

Pernyataan (2): \(x^2 = 16 \Rightarrow x = 4\) ATAU \(x = -4\). Ada dua kemungkinan nilai. (TIDAK CUKUP).

Soal No. 17 Data Sufficiency

Sebuah bilangan terdiri dari dua digit. Apakah bilangan tersebut bilangan prima?
(1) Digit satuannya adalah 3.
(2) Digit puluhannya adalah bilangan prima genap.

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: C

Pembahasan:
Pernyataan (1): Satuan 3. Bisa 13 (Prima), 33 (Bukan, habis dibagi 3). Tidak cukup.
Pernyataan (2): Puluhan prima genap. Satu-satunya bilangan prima genap adalah 2. Jadi bilangan itu adalah 20-an (20, 21, ... 29). Bisa 23 (Prima), 24 (Bukan). Tidak cukup.
Gabungan: Puluhan 2, Satuan 3. Bilangan itu adalah 23. Karena 23 adalah bilangan prima, kita bisa menjawab YA. (CUKUP).

Soal No. 18 Data Sufficiency

Diketahui himpunan \(S = \{2, 4, 6, 8, x\}\). Apakah rata-rata himpunan \(S\) lebih besar dari mediannya?
(1) \(x = 10\)
(2) \(x > 8\)

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: A

Pembahasan:
Pernyataan (1): \(x=10\).
Himpunan menjadi \(\{2, 4, 6, 8, 10\}\).
Median = Angka tengah = 6.
Rata-rata = \(\frac{2+4+6+8+10}{5} = \frac{30}{5} = 6\).
Pertanyaan: Apakah Rata-rata > Median? \(6 > 6\)? Jawabannya TIDAK. Karena jawaban pasti, maka (CUKUP).

Pernyataan (2): \(x > 8\).
Median tetap 6 (karena urutannya tetap 2, 4, 6, 8, x).
Rata-rata = \(\frac{20+x}{5} = 4 + \frac{x}{5}\).
- Jika \(x=9\), Rata = \(4 + 1.8 = 5.8\). (Rata < Median).
- Jika \(x=15\), Rata = \(4 + 3 = 7\). (Rata > Median).
Hasil berubah-ubah. (TIDAK CUKUP).

Soal No. 19 Data Sufficiency

Apakah \(\sqrt{ab}\) adalah bilangan bulat?
(1) \(a\) dan \(b\) adalah bilangan prima berbeda.
(2) \(a\) adalah kelipatan dari \(b\).

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: A

Pembahasan:
Agar \(\sqrt{ab}\) bulat, maka \(ab\) haruslah bilangan kuadrat sempurna (pangkat faktor primanya genap).
Pernyataan (1): \(a\) dan \(b\) prima beda. Misal \(a=2, b=3\). \(ab = 6\). Faktor primanya masing-masing pangkat 1. Tidak mungkin kuadrat sempurna. Jawabannya pasti BUKAN. (CUKUP).
Pernyataan (2): \(a\) kelipatan \(b\) (\(a=kb\)). \(ab = kb^2\).
- Jika \(k=1\), \(a=b\), maka \(ab=b^2\) (Kuadrat sempurna).
- Jika \(k=2\), \(a=2b\), maka \(ab=2b^2\) (Bukan kuadrat sempurna).
Tidak konsisten. (TIDAK CUKUP).

Soal No. 20 Data Sufficiency

Berapakah sisa pembagian bilangan bulat positif \(p\) jika dibagi 5?
(1) \(p\) dibagi 10 bersisa 3.
(2) \(p + 2\) habis dibagi 5.

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: D

Pembahasan:
Pernyataan (1): \(p = 10k + 3\).
Digit terakhir \(p\) pasti 3. Bilangan berakhiran 3 jika dibagi 5 pasti bersisa 3. (CUKUP).

Pernyataan (2): \(p+2\) habis dibagi 5.
Artinya \(p+2 \equiv 0 \pmod 5\).
\(p \equiv -2 \pmod 5\).
Dalam modulo 5, \(-2\) ekuivalen dengan \(3\) (karena \(5-2=3\)).
Jadi \(p\) bersisa 3. (CUKUP).

Bagian 3: Olimpiade (No. 21 - 25)

Soal No. 21 OSK

Sisa pembagian \(3^{2024}\) oleh 10 adalah ...

A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 E. 0

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: A (1)

Pembahasan:
Sisa bagi oleh 10 sama dengan mencari digit satuan.
Perhatikan pola perpangkatan 3:
\(3^1 = 3\) (sisa 3)
\(3^2 = 9\) (sisa 9)
\(3^3 = 27\) (sisa 7)
\(3^4 = 81\) (sisa 1)
\(3^5 = 243\) (kembali ke 3)
Pola berulang setiap 4 kali (3, 9, 7, 1).
Eksponen 2024 dibagi 4: \(2024 \div 4\) bersisa 0 (Habis dibagi).
Jika habis dibagi, maka mengikuti pola terakhir (pola ke-4), yaitu 1.

Soal No. 22 OSK

Jumlah semua digit dari hasil perhitungan \(10^{15} - 25\) adalah ...

A. 129 B. 124 C. 125 D. 135 E. 140

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: A (129)

Pembahasan:
\(10^{15}\) adalah angka 1 diikuti 15 angka nol.
Jika dikurangi 25, maka bentuknya menjadi:
\(100...00 - 25 = 99...975\).
Perhatikan pola:
\(100 - 25 = 75\) (0 angka 9)
\(1000 - 25 = 975\) (1 angka 9)
\(10000 - 25 = 9975\) (2 angka 9)
Jumlah angka 9 adalah sebanyak (Pangkat - 2).
Untuk pangkat 15, ada \(15 - 2 = 13\) angka 9.
Jumlah digit = \((13 \times 9) + 7 + 5 = 117 + 12 = 129\).

Soal No. 23 OSK

Jika \(a, b, c\) positif memenuhi \(ab = 32\), \(bc = 48\), dan \(ca = 24\), maka \(a + b + c\) adalah ...

A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 E. 22

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: C (18)

Pembahasan:
Kalikan ketiga persamaan: \((ab)(bc)(ca) = 32 \times 48 \times 24\).
\((abc)^2 = 32 \times 48 \times 24 = 36.864\).
\(abc = \sqrt{36.864} = 192\).

Cari nilai variabel satu per satu:
\(c = \frac{abc}{ab} = \frac{192}{32} = 6\).
\(a = \frac{abc}{bc} = \frac{192}{48} = 4\).
\(b = \frac{abc}{ca} = \frac{192}{24} = 8\).

Jumlah: \(a + b + c = 4 + 8 + 6 = 18\).

Soal No. 24 OSK

Banyaknya bilangan bulat \(n\) sehingga \(\frac{n^2 + 3n + 13}{n + 1}\) merupakan bilangan bulat adalah ...

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: B (4)

Pembahasan:
Sederhanakan bentuk aljabar dengan pembagian:
\(\frac{n^2 + 3n + 13}{n + 1} = \frac{n(n+1) + 2(n+1) + 11}{n+1} = n + 2 + \frac{11}{n+1}\).
Agar hasilnya bulat, maka \(\frac{11}{n+1}\) harus bulat.
Artinya, \(n+1\) haruslah faktor dari 11.
Faktor dari 11 adalah \(\{-11, -1, 1, 11\}\).
Ada 4 kemungkinan nilai \(n\). (\(n=-12, n=-2, n=0, n=10\)).

Soal No. 25 OSK

Diketahui \(x\) dan \(y\) real tak nol, \(x + y = xy = \frac{x}{y}\). Nilai \(x - y\) adalah ...

A. -3/2 B. -1/2 C. 0 D. 1/2 E. 3/2

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: E (3/2)

Pembahasan:
1. Dari \(xy = \frac{x}{y}\), bagi kedua ruas dengan \(x\) (karena \(x \neq 0\)):
\(y = \frac{1}{y} \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = 1\) atau \(y = -1\).

2. Cek \(y = 1\): Substitusi ke \(x + y = xy\).
\(x + 1 = x(1) \Rightarrow x + 1 = x \Rightarrow 1 = 0\) (Mustahil). Maka \(y \neq 1\).

3. Cek \(y = -1\): Substitusi ke \(x + y = xy\).
\(x - 1 = x(-1) \Rightarrow x - 1 = -x \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).

4. Hitung \(x - y\):
\(\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\).

Bagian 4: Olimpiade (Kecukupan Data)

Soal No. 26 Data Sufficiency

Misalkan \(x, y, z\) bulat positif berurutan. Apakah \(xyz\) habis dibagi 24?
(1) Salah satu bilangan kelipatan 4.
(2) Jumlah ketiga bilangan kelipatan 3.

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: E

Pembahasan:
Tiga bilangan berurutan selalu habis dibagi 3 dan setidaknya satu habis dibagi 2 (Total habis dibagi 6). Untuk habis dibagi 24, kita butuh faktor 4 tambahan.
Pernyataan (1): Misal urutan \(3, 4, 5\). \(3 \times 4 \times 5 = 60\) (Tidak habis dibagi 24).
Misal urutan \(4, 5, 6\). \(4 \times 5 \times 6 = 120\) (Habis dibagi 24). Tidak konsisten.
Pernyataan (2): Jumlah 3 bilangan berurutan selalu habis dibagi 3. Ini informasi redundan. Tidak menambah syarat.
Gabungan pun masih sama dengan kasus (1). (TIDAK CUKUP).

Soal No. 27 Data Sufficiency

Apakah \(x^2 - y^2 > 0\)?
(1) \(|x| > |y|\)
(2) \(x - y > 0\)

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: A

Pembahasan:
\(x^2 - y^2 > 0 \Leftrightarrow x^2 > y^2\).
Ini ekuivalen dengan \(\sqrt{x^2} > \sqrt{y^2} \Leftrightarrow |x| > |y|\).
Pernyataan (1): \(|x| > |y|\). Langsung menjawab pertanyaan dengan "YA". (CUKUP).
Pernyataan (2): \(x - y > 0 \Rightarrow x > y\).
- Jika \(x=2, y=1\), \(2^2 > 1^2\) (YA).
- Jika \(x=-2, y=-5\) (tetap \(x>y\)), \(4 > 25\) (TIDAK).
Tidak konsisten. (TIDAK CUKUP).

Soal No. 28 Data Sufficiency

Jika \(p\) prima > 3, apakah \(p^2 - 1\) habis dibagi 24?
(1) \(p = 6k + 1\)
(2) \(p = 6k - 1\)

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: D

Pembahasan:
Sifat Bilangan: Untuk semua bilangan prima \(p > 3\), \(p^2 - 1\) selalu habis dibagi 24.
Alasan: \(p^2 - 1 = (p-1)(p+1)\). Karena \(p\) ganjil, \((p-1)\) dan \((p+1)\) adalah dua bilangan genap berurutan, salah satunya habis dibagi 4, satunya dibagi 2 (Total bagi 8). Karena \(p\) tidak habis dibagi 3, salah satu dari \(p-1\) atau \(p+1\) habis dibagi 3. Total habis dibagi \(8 \times 3 = 24\).
Pernyataan (1): \(p = 6k+1\). Bentuk ini menjamin \(p\) bukan kelipatan 2 atau 3. Jika \(p\) prima, sifat di atas berlaku. (CUKUP).
Pernyataan (2): \(p = 6k-1\). Sama seperti di atas. (CUKUP).

Soal No. 29 Data Sufficiency

Diketahui \(a, b\) bulat positif. Apakah \(a^b\) kuadrat sempurna?
(1) \(a\) kuadrat sempurna.
(2) \(b\) genap.

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: D

Pembahasan:
Kuadrat sempurna berbentuk \(k^2\).
Pernyataan (1): \(a = k^2\). Maka \(a^b = (k^2)^b = (k^b)^2\). Jelas kuadrat sempurna. (CUKUP).
Pernyataan (2): \(b = 2n\) (Genap). Maka \(a^b = a^{2n} = (a^n)^2\). Jelas kuadrat sempurna. (CUKUP).

Soal No. 30 Data Sufficiency

Apakah \(n\) adalah bilangan prima?
(1) \((n-1)! + 1\) habis dibagi \(n\).
(2) \(n\) tidak memiliki faktor prima kurang dari \(\sqrt{n}\).

A B C D E

Lihat Kunci Jawaban

Jawaban: D

Pembahasan:
Pernyataan (1): Ini adalah Teorema Wilson. \((n-1)! \equiv -1 \pmod n\) hanya berlaku jika \(n\) adalah bilangan prima. Jadi ini menjamin \(n\) prima. (CUKUP).
Pernyataan (2): Ini adalah metode dasar Uji Primalitas (Trial Division). Jika sebuah bilangan \(n\) komposit (bukan prima), ia pasti memiliki faktor prima \(\le \sqrt{n}\). Jika tidak ada, maka \(n\) pasti prima. (CUKUP).

HASIL AKHIR

0

Skor Anda

📥 Butuh Versi Cetak?

Anda bisa mengunduh modul lengkap dalam format PDF untuk latihan offline.

DOWNLOAD PDF MODUL 🚀

Tags: #UTBK #PengetahuanKuantitatif #Bilangan #OlimpiadeMatematika #SNBT